Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 152]

Задача 109598

Темы:	[	Необычные построения	]
	[	Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность неограничена.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116349

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки подобия	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Точка M расположена на стороне AB параллелограмма ABCD, причём BM : MA = 1 : 2. Отрезки DM и AC пересекаются в точке P. Известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 1. Найдите площадь четырёхугольника BCPM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53601

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Признаки подобия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Биссектриса угла C треугольника ABC делит сторону AB на отрезки, равные a и b (a > b). Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64549

Темы:	[	Точка Торричелли	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4-

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64913

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Признаки подобия	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 152]