Страница:
<< 193 194 195 196
197 198 199 >> [Всего задач: 1240]
|
[Теорема Вильсона]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что для простого p (p – 1)! ≡ – 1 (mod p).
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
На доске написано n натуральных чисел. Пусть ak – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные ak. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).
Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 16y + 1.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби 1/n, 2/n, ...,
n–1/n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют
разную чётность?
Страница:
<< 193 194 195 196
197 198 199 >> [Всего задач: 1240]
Фильтр
