Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 268]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30926

Темы:   [ Системы алгебраических неравенств ] [ Средние величины ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
  1)  a + b < c + d;
  2)  (a + b)cd < ab(c + d);
  3)  (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60973

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

При каких n многочлен  1 + x² + x⁴ + ... + x^2n–2  делится на  1 + x + x² + ... + x^n–1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61453

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что при всех натуральных n число   f (n) = 2^2n–1 – 9n² + 21n – 14   делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64384

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Сочетания и размещения ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79437

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 268]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями