Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]

Задача 61247

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ cos A,

cos $\displaystyle \beta$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ cos B,

cos $\displaystyle \gamma$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ cos C,

(8.6)

и, кроме того, величины $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $\pi$ . Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$ .

(8.7)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65920

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Перпендикулярные плоскости	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дана треугольная пирамида ABCD с плоскими прямыми углами при вершине D, в которой CD = AD + DB.
Докажите, что сумма плоских углов при вершине C равна 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61248

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6 ) следуют равенства

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos $\displaystyle \alpha$ ,

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos $\displaystyle \beta$ ,

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos $\displaystyle \gamma$ ,

tg $\displaystyle {\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}$ ,

(8.8)

где 2p = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 64637

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65390

Темы:	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Малые шевеления	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Маркелов С.В.

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]