Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 257]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях: а) N = 3; б) N = 4.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой
окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через
отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
б) Та же задача для n отмеченных точек.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник
света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы
один из шаров?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад,
а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли.
Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных
Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.
Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 257]
Фильтр
