Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]

Задача 65382

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Сфера, описанная около пирамиды	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A₁, B₁, C₁, D₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116649

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Берлов С.Л.

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 87082

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Сфера, касающаяся ребер тетраэдра	]
	[	Центр масс	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Произволов В.В.

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66251

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Поворот и винтовое движение	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Барицентрические координаты	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁; A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁; B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109618

Темы:	[	Свойства сечений	]
	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Терешин Д.А.

Докажите, что при n ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]