Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус его описанной окружности.

   Решение

---

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax¹¹ + bx⁴ + c = 0,  bx¹¹ + cx⁴ + a = 0,  cx¹¹ + ax⁴ + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

   Решение

---

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

   Решение

---

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

   Решение

---

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

   Решение

---

Решите уравнение:

   Решение

---

Докажите, что если (x+)(y+)=1 , то x+y=0 .

   Решение

---

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

   Решение

---

Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.

   Решение

---

Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на четыре треугольника и три четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см. Периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин жирных отрезков.

   Решение

---

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

   Решение

---

Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P – точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что  S_ABP = S_MDNP.

   Решение

Темы:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P – точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что  S_ABP = S_MDNP.

Решение

При повороте на угол 60° вокруг центра данного шестиугольника, переводящем вершину A в вершину B, четырёхугольник ABCM переходит в четырехугольник BCDN. Поэтому эти четырёхугольники равны, а четырёхугольник BPCM – их общая часть. Следовательно,  S_APB = S_MDNP.

Источники и прецеденты использования