Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если BAC = 2arctg.

   Решение

Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)

   Решение

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

   Решение

Какое наибольшее число пятниц может быть в году?

   Решение

К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

   Решение

В треугольнике ABC со сторонами  AB = 4,  AC = 6  проведена биссектриса угла A. На эту биссектрису опущен перпендикуляр BH.
Найдите MH, где M – середина BC.

   Решение

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки М, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?
(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)

   Решение

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)

   Решение

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

   Решение

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в одной точке.
б) Точки A₁, B₁ и C₁ перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?

   Решение

Из точки M проведены касательные MA и MB к окружности с центром O (A и B – точки касания). Найдите радиус окружности, если  ∠AMB = α  и  AB = a.

   Решение

Окружности радиусов r и R  (R > r)  касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью – A и D, с большей – B и C соответственно.
  а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
  б) Докажите, что углы AKB и O₁MO₂ – прямые (O₁ и O₂ – центры окружностей).

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности радиусов r и R  (R > r)  касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью – A и D, с большей – B и C соответственно.
  а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
  б) Докажите, что углы AKB и O₁MO₂ – прямые (O₁ и O₂ – центры окружностей).

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра O₁ на O₂B и рассмотрите полученный прямоугольный треугольник. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.

Решение

  а) Опустим перпендикуляр O₁P на O₂B. Имеем  O₁O₂ = r + R,  O₂P = R – r, 
  Так как  MB = MK = MA,  то  NM = 2MK = AB.

  б) Поскольку MO₁ и MO₂ – биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O₁MO₂ – прямой.
  Как показано в а), точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому  ∠AKB = 90°.

Ответ

а)  2.

Источники и прецеденты использования