Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  f(f(x))= – x  при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

   Решение

---

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей  K = p₁p₂...p_n;  затем вычисляется сумма  p₁ + p₂ + ... + p_n + 1.  С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

   Решение

---

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

   Решение

---

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x⁵ + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

   Решение

---

Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A₀, B₀, C₀ и D₀ соответственно.
Докажите, что отрезки A₀C₀ и B₀D₀ равны.

   Решение

---

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n²d, где d - разность прогрессии, а n - число ее членов?

   Решение

---

Можно ли разрезать по границам клеток фигуру на рисунке на 4 одинаковые части?

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A₁ и B₁. Докажите, что треугольник A₁OB₁ (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.

   Решение

---

Из точки $A$ к окружности $\Omega$ проведены касательные $AB$ и $AC$. На отрезке $BC$ отмечена середина $M$ и произвольная точка $P$. Прямая $AP$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $MDP$ и $MPE$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.

   Решение

---

В четырёхугольнике ABCD углы B и D — прямые. Диагональ AC образует со стороной AB острый угол в 40^o, а со стороной AD -- угол в 30^o. Найдите острый угол между диагоналями AC и BD.

   Решение

---

Дан треугольник ABC и точка H на прямой AB . Докажите, что CH — высота треугольника ABC тогда и только тогда, когда AC2-BC2=AH2-BH2 .

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Метод координат ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка H на прямой AB . Докажите, что CH — высота треугольника ABC тогда и только тогда, когда AC2-BC2=AH2-BH2 .

Решение

Необходимость.}Пусть CH — высота треугольника ABC (рис.1). Если точка H совпадает с вершинами A или B , то утверждение очевидно. Пусть точка H не совпадает ни с A , ни с B . Тогда по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH и BCH находим, что

AC2-AH2=CH2, BC2-BH2=CH2,
поэтому AC2-AH2=BC2-BH2 . Следовательно, AC2-BC2=AH2-BH2 .
Достаточность.}
Пусть точка H на прямой AB и AC2-BC2=AH2-BH2 (рис.2). Выберем на плоскости прямоугольную систему координат следующим образом. Начало координат — точка A , ось абсцисс направлена по лучу AB , ось ординат перпендикулярна AB . Выпишем координаты точек: A(0;0) , B(c;0) , C(p;q) , H(x;0) . Тогда
AC2=p2+q2, BC2=(p-c)2+q2, AH2=x2, BH2=(c-x)2.
По условию
p2+q2-(p-c)2-q2=x2-(c-x)2,
откуда x=p , т.е. прямая CH перпендикулярна оси Oy . Следовательно, CH — высота треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования