Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.

   Решение

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

   Решение

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

   Решение

Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.

   Решение

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

   Решение

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

   Решение

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

   Решение

На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что  S_ABCD ≥ 3S_BCM.

   Решение

Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC, DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
  а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
  б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁ и диагональ DB₁?
  в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?

   Решение

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого k из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем k это могло случиться?

   Решение

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямая Симсона ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9 Название задачи: Прямая Симсона.

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Решение

  Пусть A₁, B₁ и C₁ – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB.

  а) Пусть точка P лежит на дуге AC описанной окружности треугольника ABC. Сумма углов при вершинах A₁ и C₁ четырёхугольника A₁BC₁P равна 180°, поэтому  ∠ A₁PC₁ = 180° – ∠B = ∠APC.  Следовательно,  ∠APC₁ = ∠A₁PC,  причём одна из точек A₁ и C₁ (например, A₁) лежит на стороне треугольника, а другая – на продолжении стороны. Четырёхугольники AB₁PC₁ и A₁B₁PC вписанные, поэтому
∠AB₁C₁ = ∠APC₁ = ∠A₁PC = ∠A₁B₁C,  а значит, точка B₁ лежит на отрезке A₁C₁.

  б) Первый способ. Воспользуемся ориентированными углами (см. главу 2 книги В.В. Прасолова "Задачи по планиметрии"). Как и в а), получаем
∠(AP, PC₁) = ∠(AB₁, B₁C) = ∠(CB₁, B₁A₁) = ∠(CP, PA₁).  Прибавляя  ∠(PC₁, PC),  получаем  ∠(AP, PC) = ∠(PC₁, PA₁) = ∠(BC₁, BA₁) = ∠(AB, PC),  то есть точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.
  Второй способ. Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, при которой описанная окружность Ω треугольника ABC перейдет в окружность Ω', проходящую через точку P. Треугольник ABC перейдет в треугольник AB'C', вписанный в Ω'. Основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны AB', AC' треугольника AB'C', – те же точки C₁ и B₁. Пусть A₂ – основание перпендикуляра, опущенного из P на B'C'. Согласно а) точки C₁, B₁ и A₂ лежат на одной прямой. Значит, прямая C₁B₁ пересекает прямую PA₁ как в точке A₁, так и в точке A₂. Следовательно точки A₁ и A₂ совпадают. Тогда совпадают и прямые AB и A'B', то есть коэффициент гомотетии равен 1, и Ω' совпадает с Ω.

Источники и прецеденты использования