Дана окружность S и точка O внутри ее. Рассмотрим все проективные преобразования, которые S отображают в окружность, а O — в ее центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и ту же прямую.

   Решение

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

   Решение

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
    а) для  n = 4,   б) для  n = 3,   в) для произвольного n.

   Решение

Параллелограмм описан около эллипса. Докажите, что диагонали параллелограмма содержат сопряженные диаметры эллипса.

   Решение

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, причем  OA OB OC. Докажите, что OA 2r и  OB r.

   Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Докажите, что прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂ (теорема о дважды перспективных треугольниках).

   Решение

Докажите, что  S = cr_ar_b/(r_a + r_b).

   Решение

Докажите, что  = + .

   Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны  30^o, 60^o и  90^o.

   Решение

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

   Решение

Постройте треугольник ABC, если даны точки A, B и прямая, на которой лежит биссектриса угла C.

   Решение

Постройте треугольник по данным серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.

   Решение

а) Впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого параллельны заданным n прямым.
б) Через центр O окружности проведено n прямых. Постройте описанный около окружности n-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.

   Решение

Тема:    [ Композиции симметрий ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого параллельны заданным n прямым.
б) Через центр O окружности проведено n прямых. Постройте описанный около окружности n-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.

Решение

а) Предположим, что многоугольник A₁A₂...A_n построен. Проведем через центр O окружности серединные перпендикуляры l₁, l₂,..., l_n к хордам A₁A₂, A₂A₃,..., A_nA₁ соответственно. Прямые l₁,..., l_n известны, так как они проходят через точку O и перпендикулярны данным прямым. Кроме того, A₂ = S_l1(A₁), A₃ = S_l2(A₂),..., A₁ = S_ln(A_n), т. е. точка A₁ является неподвижной точкой композиции симметрий S_lno...oS_l1. При нечетном n на окружности неподвижных точек ровно две; при четном n либо неподвижных точек нет, либо все точки неподвижны.
б) Предположим, что искомый многоугольник A₁...A_n построен. Рассмотрим многоугольник B₁...B_n, образованный точками касания описанного многоугольника с окружностью. Стороны многоугольника B₁...B_n перпендикулярны данным прямым, т. е. имеют заданные направления, поэтому его можно построить (см. задачу а)); остается провести касательные к окружности в точках B₁,..., B_n.

Источники и прецеденты использования