Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

   Решение

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

   Решение

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

   Решение

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?
  б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

   Решение

По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через точку P они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.

   Решение

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10¹⁰² + 10¹⁰³ + ... + 10¹⁰¹⁰.

   Решение

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.

   Решение

В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали.  Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?

   Решение

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

   Решение

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно  

   Решение

Докажите, что при n ≠ 4 правильный n-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

   Решение

На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

   Решение

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

Решение

Рассмотрим поворот на 60^o относительно точки C, переводящий точку E в D. При этом точка B переходит в A, т. е. отрезок BE переходит в отрезок AD. Поэтому середина P отрезка BE переходит в середину M отрезка AD, т. е. треугольник CPM равносторонний.

Источники и прецеденты использования