Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

   Решение

---

У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность  Р(2015) – Q(2015)  кратна 1007.

   Решение

---

Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

   Решение

---

Отрезок AD – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Через точку H пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне BC, которая пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Докажите, что периметр треугольника DEF в два раза больше стороны BC.

   Решение

---

Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n³ заканчивается на n, а десятичная запись числа n² не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

   Решение

---

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

   Решение

---

Числовая последовательность {x_n} такова, что для каждого  n > 1  выполняется условие:  x_n+1 = |x_n| – x_n–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

   Решение

---

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Основание этой пирамиды – прямоугольник ABCD . Известно, что AS = 7 , BS = 2 , CS =6 , SAD = SBD = SCD . Найдите ребро DS .

   Решение

---

Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?

   Решение

---

n – натуральное число. Докажите, что  

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального n, где n6, квадрат можно разрезать на n квадратов.

   Решение

---

Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.

   Решение

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.

Решение

Предположим, что семиугольник разрезан на f выпуклых шестиугольников. С одной стороны, сумма углов этих шестиугольников равна 4f. С другой стороны, она равна (7 - 2) + (m - 7) + 2n, где m — количество вершин шестиугольников, лежащих на сторонах семиугольника, n — количество вершин шестиугольников, лежащих внутри семиугольника. Таким образом,

Пусть k — количество сторон шестиугольников, лежащих внутри семиугольника, m₁ — количество тех из m вершин, из которых выходят ровно две стороны, m₂ = m - m₁. Тогда 6f = m + 2k и 2k3n + m₂, поэтому

Из (1) и (2) следует, что m - 2m₂6, т.е. m₁ - m₂6.
Ясно, что m₂2, поскольку по крайней мере из двух точек на сторонах семиугольника выходят отрезки, идущие внутрь. Следовательно, m₁8. Приходим к противоречию, поскольку ровно две стороны могут выходить только из вершин семиугольника.

Источники и прецеденты использования