ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что ∠ABO = ∠CAO, ∠BAO = ∠BCO, ∠BOC = 90°. Найдите отношение AC : OC. Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1. Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3. Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это. Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности. Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются. Марина купила тур в Банановую страну с 5 по 22 октября. Ввозить и вывозить бананы через границу запрещено. Банановый король в начале каждого месяца издаёт указ о ценах. Цена одного банана в местной валюте на нужные числа октября приведена в таблице:
Марина хочет ежедневно съедать по одному банану. Она любит только зелёные бананы, поэтому согласна съесть банан только в течение 4 дней после покупки. Например, банан, купленный 5 октября, Марина согласна съесть 5, 6, 7 или 8 октября. Марина может запасаться бананами, когда они подешевле. В какие дни по сколько бананов надо покупать Марине, чтобы потратить как можно меньше денег? В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются. Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S. Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из $E$ на $DF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$, а перпендикуляр из $F$ на $DE$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается $\omega$. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$. Сто мудрецов хотят проехать на электричке из 12 вагонов от первой до 76-й станции. Они знают, что на первой станции в два вагона электрички сядут два контролёра. После четвёртой станции на каждом перегоне один из контролёров будет переходить в соседний вагон, причём они "ходят" по очереди. Мудрец видит контролёра, только если он в соседнем вагоне или через вагон. На каждой станции каждый мудрец может перебежать по платформе не далее чем на три вагона (например, из 7-го вагона мудрец может добежать до любого вагона с номером от 4 до 10 и сесть в него). Какое максимальное число мудрецов сможет ни разу не оказаться в одном вагоне с контролёром, как бы контролёры ни перемещались? (Никакой информации о контролёрах, кроме указанной в задаче, мудрец не получает. Мудрецы договариваются о стратегии заранее.) Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$. В параллелограмме ABCD на диагонали AC взята точка E, причём AE : EC = 1 : 3, а на стороне AD взята такая точка F, что AF : FD = 1 : 2. Найдите площадь четырёхугольника ABGE, где G – точка пересечения прямой FE со стороной BC, если известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 24. Дано натуральное число $N$. Вера делает с ним следующие операции: сначала прибавляет 3 до тех пор, пока получившееся число не станет делиться на 5 (если изначально $N$ делится на 5, то ничего прибавлять не надо). Получившееся число Вера делит на 5. Далее делает эти же операции с новым числом, и так далее. Из каких чисел такими операциями нельзя получить 1? |
Задача 66552
УсловиеДано натуральное число $N$.
Вера делает с ним следующие операции:
сначала прибавляет 3 до тех пор, пока получившееся число не станет
делиться на 5
(если изначально $N$ делится на 5, то ничего прибавлять
не надо).
Получившееся число Вера делит на 5.
Далее делает эти же
операции с новым числом, и так далее. Из каких чисел такими операциями
нельзя получить 1? РешениеВ самом деле, из чисел, кратных $3$, число $1$ получить не удастся, так как если число $N$ кратно $3$, то и $N + 3$ кратно $3$, а если $N = 5k$ кратно $3$, то и $k$ кратно $3$, так как $3$ и $5$ взаимно простые. А значит, все получающиеся в результате этих операций числа будут кратны $3$, но $1$ не делится на $3$. Пусть $N$ не кратно $3$. Заметим, что числа $N$, $N+3$, $N+6$, $N+9$ и $N+12$ также не кратны $3$ и имеют разные остатки при делении на $5$, значит, одно из них кратно $5$. Следовательно, после первой операции деления на $5$ Вера получит число, не кратное $3$ и не превышающее $\frac{N+12}{5} = 0{,}2N + 2{,}4$, что строго меньше $N$ при $N > 3$. Иными словами, после каждого деления на $5$ Верины числа уменьшаются, пока не получится число $1$ или $2$. Но из числа $2$ за два шага также получается число $1$.
Комментарий. Формулировка этой задачи похожа на известную открытую проблему — гипотезу Коллатца. С данным натуральным числом $N$ проводится следующая операция: если $N$ чётно, то оно делится на 2, а если нечётно, то оно умножается на 3 и к результату прибавляется 1 (получается число $3N+1$), после чего процесс повторяется. Гипотеза состоит в том, что рано или поздно в результате таких операций получится единица.
На данный момент с использованием распределенных вычислений гипотеза проверена до чисел порядка $10^{21}$, в наиболее сложных случаях для получения единицы требуется порядка 3000 шагов. Ответ$3k, k \in \mathbb{N}$. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке