Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?
а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
Через начало координат проведены прямые (включая оси координат),
которые делят координатную плоскость на углы в 1°.
Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой y = 100 – x.
Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.
Числа p и q таковы, что параболы y = – 2x² и y = x² + px + q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.
Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа $n$ записал $\frac{x^n}{1-x}$, а для каждого синего числа $m$ записал $\frac{x^m}{1-x^{-1}}.$ После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от $x$.
|
|
 |
Условие
Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа $n$ записал $\frac{x^n}{1-x}$, а для каждого синего числа $m$ записал $\frac{x^m}{1-x^{-1}}.$ После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от $x$.
Решение
Решение 1. Заметим, что $$\frac{x^n}{1-x} = \frac{x^n-1}{1-x} + \frac{1}{1-x} = \frac{(x-1) (x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1)}{1-x} + \frac{1}{1-x} =$$ $$= - (x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1) + \frac{1}{1-x}.$$ В свою очередь, $$\frac{x^m}{1-x^{-1}} = \frac{x^{m+1}}{x-1} = \frac{x^{m+1}-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} =$$ $$= \frac{(x-1) (x^{m} + x^{m-1} + \dots + 1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = x^{m} + x^{m-1} + \dots + 1 - \frac{1}{1-x}.$$ Таким образом, 100 слагаемых, соответствующих красным числам, в сумме дадут некоторый многчлен и $100 \cdot \frac{1}{1-x}$, а 100 слагаемых, соответствующих синим числам — многочлен и $(-100) \cdot \frac{1}{1-x}$. То есть 100 «красных» дробей и 100 «синих» дробей взаимно уничтожатся, и останется только многочлен.
Решение 2. Разобъём 200 чисел на 100 пар, в каждой паре одно число — красное, другое — синее. Посмотрим на сумму выражений, соответствующих красному числу $n$ и синему $m$: $$\frac{x^n}{1-x} + \frac{x^m}{1-x^{-1}} = \frac{x^n}{1-x} - \frac{x^{m+1}}{1-x} = \frac{x^n-x^{m+1}}{1-x} =\begin{cases} x^n+\ldots+x^m,&m\geqslant n\\ -x^{m+1}-\ldots-x^{n-1},&m< n \end{cases} .$$ Таким образом, сумма выражений каждой пары синего и красного числа — это многочлен, а значит, и после приведения подобных и упрощения получится многочлен.
Комментарий. Если $|x|<1$, то сумма бесконечной геометрической прогрессии $x^n+x^{n+1}+ \dots$ равна $\frac{x^n}{1-x}$. Поэтому, если число $x$ достаточно маленькое (и $m>n$), то $$x^n+x^{n+1}+\ldots+x^m\approx \frac{x^n}{1-x}.$$ Если, наоборот, число $x$ достаточно большое, то можно оценить ту же сумму по-другому: $$x^m+x^{m-1}+\ldots+x^n \approx x^m+x^{m-1}+\ldots = \frac{x^m}{1-x^{-1}}.$$ Эти два приближенных ответа получены для совершенно разных диапазонов $x$, поэтому кажется бессмысленным их складывать… и тем не менее, если их сложить, получается точная формула суммы конечной геометрической прогрессии: $$ \frac{x^n}{1-x}+\frac{x^m}{1-x^{-1}}= \frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{m+1}}{x-1}= \frac{x^n-x^{m+1}}{1-x}= x^n+\ldots+x^m. $$ Это частный случай теоремы Бриона.
