Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон
выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то
m2n2 = a2c2 + b2d2 - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).
В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом
∠A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.
а) Чему могут равняться эти углы?
б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".
Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно
треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите,
что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна
прямой Эйлера треугольника ACD.
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.
Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn (n ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?
В прямоугольном треугольнике
ABCC = 90o. На продолжении
гипотенузы AB отложен отрезок BD, равный катету BC, и точка D
соединена с C. Найдите CD, если BC = 7 и AC = 24.
В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и
радикальной осью.
Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с
плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо
через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо
через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.
Докажите, что многочлен вида x200y200 + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.
|
|
 |
Условие
Докажите, что многочлен вида x200y200 + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.
Решение
Предположим, что существуют многочлены f(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an и g(y) = b0ym + b1ym–1 + ... + bm, для которых f(x)g(y) = x200y200 + 1. Положив
x = 0, получим ang(y) = 1, то есть g(y) = 1/an при всех y. Положив y = 0, аналогично получим, что f(x) = 1/bm при всех x. Таким образом, f(x)g(y) = 1/anbm – константа, а функция x200y200 + 1, очевидно, не является константой.
