Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

---

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

---

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

---

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

---

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

---

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a (0;);
в) x_{n + 1} = ,    a > 0, x₀ = 0.

   Решение

---

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

   Решение

---

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

   Решение

---

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

---

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

   Решение

---

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

   Решение

---

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

---

Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.

   Решение

---

Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .

   Решение

---

Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что  ∠KBA = 2∠KAB  и  ∠KBC = 2∠KCB.

   Решение

---

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

   Решение

---

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

   Решение

Тема:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7

Прислать комментарий

Условие

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

Решение

См. решение задачи 78538.

Ответ

При всех натуральных a.

Источники и прецеденты использования