Выбрано 16 задач 
Убрать все задачи
Даны вершины A и C равнобедренной описанной
трапеции ABCD (AD| BC); известны также направления ее
оснований. Постройте вершины B и D.
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного
угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ
на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK
на отрезок PQ. Докажите, что
PAK =
MAQ.
Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен
. Точки E и F являются серединами
отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна
прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что
AB = 2
, CD = 2
, EF =
.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB
и CD пересекаются в точке M. Докажите, что
AC . AD/AM = BC . BD/BM.
Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём CD = 3. Найдите радиус окружности.
В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).
Дан равносторонний треугольник со стороной $d$ и точка $P$, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам $a$, $b$ и $с$. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник со стороной $a$ и точка $Q$, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны $b$, $с$ и $d$.
Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из
дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший
диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат
один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные
части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать,
что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20
красных секторов.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE
отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите
площадь пятиугольника ABCDE.
Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка. Доказать, что объём тетраэдра с вершинами в концах этих отрезков не зависит от положения последних.
Правильный 2n-угольник M1 со стороной a лежит
внутри правильного 2n-угольника M2 со стороной 2a.
Докажите, что многоугольник M1 содержит центр многоугольника M2.
Докажите, что сумма расстояний от центра правильного семиугольника до всех его вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.
|
|
 |
Условие
Докажите, что сумма расстояний от центра правильного семиугольника до всех его
вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.
Решение
Пусть Ai — вершины данного 7-угольника, O — его центр, B1 — произвольная точка, отличная от O. Повернём вектор
на углы
, 2 ·
, ..., 6 ·
, получим 7 точек B1, B2, ..., B7 в вершинах правильного 7-угольника. Легко видеть, что сумма длин векторов
, ...,
равна сумме Σ длин векторов
, ...,
. Но
(
+ ... +
) =
, откуда по
неравенству треугольника
7 ·
≤ |
| + ... + |
| = Σ.
