Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.

   Решение

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

   Решение

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

   Решение

Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.

   Решение

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

   Решение

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

   Решение

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

   Решение

На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что  S_ABCD ≥ 3S_BCM.

   Решение

Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC, DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
  а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
  б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁ и диагональ DB₁?
  в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?

   Решение

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Отношение объемов ] [ Объем параллелепипеда ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Средняя линия треугольника ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC, DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
  а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
  б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁ и диагональ DB₁?
  в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?

Решение

  а) Продолжим отрезки MN и DC до пересечения в точке Q. Прямая QK является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CDD₁C₁. Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром CC₁. Аналогично построим точку P пересечения прямой MN с плоскостью грани ADD₁A₁ и точку F пересечения секущей плоскости с ребром AA₁. Таким образом, искомое сечение – пятиугольник MNEKF.

  б) Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC,  MN || AC.  Поэтому четырёхугольник AMQC – параллелограмм. Следовательно,
QC = AM = ½ AB = ½ CD.  Из подобия треугольников QCE и QDK следует, что  CE : DK = QC : QD = 1 : 3.
  Тогда  CE = ⅓ DK = ⅙ DD₁ = ⅙ CC₁.
  Следовательно,  CE : EC₁ = 1 : 5.  Пусть H – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, L – точка пересечения отрезков MN и BD. Тогда L – середина BH, DL = DH + HL = ½ BD + ¼ BD = ¾ BD.
  Секущая плоскость пересекает плоскость параллелограмма BDD₁B₁ по прямой LK, поэтому точка O пересечения диагонали DB₁ параллелепипеда с отрезком LK является точкой пересечения диагонали DB₁ с секущей плоскостью. Пусть R – точка пересечения прямых LK и B₁D₁, лежащих в плоскости параллелограмма BDD₁B₁. Из равенства треугольников D₁KR и DKL следует, что  D₁R = DL = ¾ BD = ¾ B₁D₁.  Поэтому  B₁R = B₁D₁ + D₁R = ⁷/₄ B₁D₁.
  Из подобия треугольников LOD и ROB₁ находим, что  DO : OB₁ = DL : B₁R = 3 : 7.

  в) Пусть S – площадь параллелограмма ABCD, h – высота параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (расстояние между параллельными плоскостями граней ABCD и A₁B₁C₁D₁), V – объём данного параллелепипеда. Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC,  S_BMN = ¼ S_ABC = ^S/₈,
S_AMP = S_CNQ = S_BMN = ^S/₈,  S_PQD = S – S_BMN + S_AMP + S_CNQ = ^9S/₈,  V_KPQD = ⅓ S_PDQ·^h/₂ = ⅓·⁹/₈ S·^h/₂ = ^3V/₁₆.
  Если h₁ – высота треугольной пирамиды ECNQ, проведённая из вершины E, то  h₁ : h = EC : EC₁ = 1 : 6.  Значит,
V_ECNQ = ⅓·⅛ S·^h/₆ = ¹/₁₄₄ Sh = ^V/₁₄₄.
  Аналогично V_FAMP = ^V/₁₄₄.  Поэтому секущая плоскость отсекает от данного параллелепипеда многогранник, объём которого равен
V_KPDQ – V_ECNQ – V_FAMP = ^3V/₁₆ – ^V/₇₂ = ^25V/₁₄₄.

Ответ

б)  1 : 5,  3 : 7;   в)  25 : 119.

Источники и прецеденты использования