Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

   Решение

---

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

   Решение

---

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

   Решение

---

На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

   Решение

---

На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?

   Решение

---

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

---

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

   Решение

---

Решите уравнения при 0^o < x < 90^o:

a)  + = 2;

б)  + = ;

в)  + = .

   Решение

---

Докажите равенство:

   Решение

---

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

   Решение

---

Докажите, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов.

   Решение

---

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

   Решение

---

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство  $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$.  ([$x$] – целая часть числа $x$.)

   Решение

---

Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число      можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

   Решение

---

Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  n + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  n + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Решение

  Поскольку фишек больше чем секторов, то в любой момент в каком-то секторе будут находиться не менее двух фишек. Значит, движение продолжается бесконечно долго.
  Занумеруем все секторы, начиная с данного, числами 1, ..., n  в порядке их обхода по часовой стрелке. Для каждой фишки вычислим квадрат номера её сектора. Пусть S – сумма этих квадратов. Если сектор 1 все время пуст, то S с каждым ходом увеличивается: при ходе из сектора k  (k < n)  к S добавляется
(k + 1)² + (k – 1)² – 2k² = 2.  С другой стороны,  S ≤ (n + 1)n².  Противоречие.
  Значит, когда-то в сектор 1 попадёт фишка. После этого всегда либо сектор 1, либо сектор 2 будет непустым: всякий раз, когда освобождается один из них, второй заполняется.
  Поскольку все секторы равноправны, наступит момент, когда все они побывают заполненными. После этого, как показано выше, оба соседа каждого пустого сектора непусты. Поэтому пустых секторов будет не больше чем непустых.

Замечания

1. 12 баллов.

2. Задача предлагалась в 1992 г. на Санкт-Петербургской математической олимпиаде (7-8 кл., задача 7).

Источники и прецеденты использования