Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 82]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ...,
1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?
Дан треугольник ABC. В нём R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности, a – длина наибольшей стороны, h – длина наименьшей высоты. Докажите, что R/r > a/h.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R – радиус описанной
сферы, r – радиус вписанной сферы, a – длина наибольшего ребра, h – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что R/r > a/h.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник M, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри M, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри M.
В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник A1A2A3. Докажите, что на дугах A1A2, A2A3, A3A1 можно отметить по одной точке (B1, B2, B3 соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника A1B1A2B2A3B3 численно равнялась периметру треугольника A1A2A3.
Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 82]
Все авторы
>>
Гальперин Г.А. 
