Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 24. Целочисленные решетки >> параграф 2. Формула Пика
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 30 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите множество середин хорд, проходящих через заданную точку A внутри окружности.

Вниз   Решение

Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина     остается постоянной.

ВверхВниз   Решение

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна a, один из острых углов равен α.
Найдите расстояния от основания высоты, опущенной на гипотенузу, до катетов треугольника.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.

ВверхВниз   Решение

В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через точку O – центр круга, вписанного в основание ABC пирамиды. Известно, что SAC = 60o , SCA = 45o , а отношение площади треугольника AOB к площади треугольника ABC равно . Найдите угол BSC .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда ma > a/2.

ВверхВниз   Решение

Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т.е. имела общие участки границы) с тремя другими?

ВверхВниз   Решение

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число 100! не является полным квадратом.

ВверхВниз   Решение

В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?

ВверхВниз   Решение

Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на каждой окружности радиуса 1 см было ровно четыре покрашенные точки.

ВверхВниз   Решение

Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 +...+ 1999?

ВверхВниз   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B; AM и AN – диаметры окружностей. Докажите, что точки M, N и B лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

На доске записаны два числа a и b  (a > b).  Их стирают и заменяют числами a+b/2 и a–b/2. С вновь записанными числами поступают аналогичным образом. Верно ли, что после нескольких стираний разность между записанными на доске числами станет меньше 1/2002?

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S, точка A на ней и прямая l. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке A и данной прямой.

ВверхВниз   Решение

Может ли n! оканчиваться ровно на пять нулей?

ВверхВниз   Решение

Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1.
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?

ВверхВниз   Решение

Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами.

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны три точки. Построить три окружности, касающиеся друг друга в этих точках. Разобрать все случаи.

ВверхВниз   Решение

На плоскости нарисовано пять различных окружностей. Известно, что каждые четыре из них имеют общую точку.
Докажите, что все пять окружностей проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

ВверхВниз   Решение

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
  а) Какая последняя цифра этого числа?
  б) Каковы десять последних цифр этого числа?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Волчкевич М.А., Казицына Т.В.

Будем называть флажком пятиугольник, вершины которого — вершины некоторого квадрата и его центр. Разрежьте фигуру ниже справа на флажки (не обязательно одинаковые).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  $ \angle$ABC < $ \angle$BAC тогда и только тогда, когда AC < BC, т. е. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.

ВверхВниз   Решение

Даны окружность O, прямая a, пересекающая её, и точка M. Через точку M провести секущую b так, чтобы её часть, заключённая внутри окружности O, делилась пополам в точке её пересечения с прямой a.

ВверхВниз   Решение

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов. Докажите, что его площадь равна n + m/2 - 1 (формула Пика).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)2 точек целочисленной решётки.

ВверхВниз   Решение

Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

  с решениями  

Задача 58208  (#24.005)

Тема:   [ Теорема Пика ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов. Докажите, что его площадь равна n + m/2 - 1 (формула Пика).
Прислать комментарий     Решение

Задача 78839  (#24.005б)

Темы:   [ Ряд Фарея ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58210  (#24.006)

Тема:   [ Теорема Пика ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58211  (#24.006б)

Тема:   [ Теорема Пика ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)2 точек целочисленной решётки.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .