ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 116763  (#10.1)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть  a1, ..., a10  – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел  a1, a2, ..., a10, 2a1, 2a2,..., 2a10  равняться 2012?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116764  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116765  (#10.3)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ 25/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116766  (#10.4)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Ориентированные графы ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Изначально на доске были написаны одночленs  1, x, x², ..., xn.  Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  S1 = 1 + x,  S2 = 1 + x + x²,  S3 = 1 + x + x² + x3,  ...,  Sn = 1 + x + x² + ... + xn.  Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 116759  (#10.5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .