ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 66260  (#9.1)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что  AG = AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66261  (#9.2)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Признаки подобия ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ωA треугольника BHC взята точка XA, что  AH = AXA  и
H ≠ XA.  Аналогично определены точки XB и XC. Докажите, что треугольник XAXBXC и ортотреугольник треугольника ABC подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66262  (#9.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66263  (#9.4)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66264  (#9.5)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Прямая Симсона ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .