Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111839

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Две окружности σ₁ и σ₂ пересекаются в точках A и B . Пусть PQ и RS – отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P и R лежат на σ₁ , точки Q и S – на σ₂ ). Оказалось, что RB|| PQ . Луч RB вторично пересекает σ₂ в точке W . Найдите отношение RB/BW .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116649

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Выход в пространство ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110030

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110152

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Симметрия относительно плоскости ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S₁ , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S₂ , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108139

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями