Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109753

Темы:   [ Системы точек ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109793

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  m, n > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на  m + n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109803

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66150

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108143

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями