Все авторы
>>
Богданов И.И. 
Илья Игоревич Богданов - доцент Московского физико-технического института, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.
Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)
С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.
Решить в целых числах уравнение 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Известно, что уравнение x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство a² + b² ≥ 8.
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
Докажите, что число
а) 9797,
б) 199717
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.
Докажите, что если
Докажите, что
16Rr - 5r2 p2
4R2 + 4Rr + 3r2.
В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.
В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?
Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.
Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.
а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?
б) Найдите все возможные количества различных длин.
Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
Все задачи автора Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 177]
Задача 66227 |
|
|
Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?
|
|
Решение |
Задача 66748 |
|
|
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
|
|
|
Решение |
Задача 66754 |
|
|
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
|
|
|
Решение |
Задача 66828 |
|
|
Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
|
|
Решение |
Задача 109708 |
|
|
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой a + 99b = c, нашлись два числа из одного подмножества.
|
|
|
Решение |
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 177]
