Все авторы
>>
Панов М.Ю. 
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Найдите наименьшее четырёхзначное число СЕЕМ, для которого существует решение ребуса МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)
Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.
Решите ребус: БАО×БА×Б = 2002.
Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.)
На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно?
Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)n по степеням x.
а) Найдите S(2012, 3).
б) Докажите, что S(20122011, 2011) делится на 2012.
Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
а) при n = k = 2;
б) при произвольных фиксированных n и k?
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.
Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nn не является делителем числа 2008!.
Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.
У Васи есть пластмассовый угольник (без делений) с углами 30°, 60° и 90. Ему нужно построить угол в 15°. Как это сделать, не используя других инструментов?
Все задачи автора Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 65797 |
|
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O1 и O2 – их центры; P1 и P2 – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O1P1 и O2P2 пересекаются на AB.
|
|
Решение |
Задача 67007 |
|
|
Пусть $X$ — некоторая фиксированная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($X$ отлична от $A$ и $C$). Произвольная окружность, проходящая через $X$ и $B$, пересекает отрезок $AC$ и описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, отличных от $X$ и $B$. Докажите, что все возможные прямые $PQ$ проходят через одну точку.
|
|
|
Решение |
Задача 103878 |
|
|
У Васи есть пластмассовый угольник (без делений) с углами 30°, 60° и 90. Ему нужно построить угол в 15°. Как это сделать, не используя других инструментов?
|
|
Решение |
Задача 65231 |
|
|
Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.
|
|
|
Решение |
Задача 66329 |
|
|
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
