Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вдоль улицы стоят шесть деревьев, и на каждом из них сидит по вороне. Раз в час две из них взлетают, и каждая садится на одно из соседних деревьев. Может ли получиться так, что все вороны соберутся на одном дереве?

   Решение

---

Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67059

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67248

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Изогональное сопряжение ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66320

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65375

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках A_B и A_C соответственно. Обозначим через O_a центр описанной окружности треугольника AA_BA_C. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что описанная окружность треугольника O_aO_bO_c касается описанной окружности исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66226

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями