Выразите функции sin x и cos x через комплексную экспоненту.

   Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания пирамиды равна b , а высота пирамиды равна b . Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани SAD в точке K . Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и точку K .

   Решение

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  n^n/2.

   Решение

На плоскости дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

   Решение

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

   Решение

Точки A , B , C , D , E и F – вершины нижнего основания правильной шестиугольной призмы, точки M , N , P , Q , R и S – середины сторон верхнего основания, точки O и O1 – соответственно центры нижнего и верхнего оснований. Найдите объём общей части пирамид O1ABCDEF и OMNPQRS , если объём призмы равен V .

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   x_n+1 = x_n – = .  Докажите, что если x₀ совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x₁, x₂, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий

Решение

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x₀ такое, что f (x₀)x₀ и x₂ = x₀.

Прислать комментарий

Решение

Пусть многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  имеет корни  x₁, x₂, ..., x_n,  причем  |x₁| > |x₂| > ... > |x_n|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P₀(x), P₁(x), P₂(x), ...,  что  P₀(x) = P(x)  и многочлен P_k(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий

Решение

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если  |x₁| > |x₂|?

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]