Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность чисел a₁, a₂,..., a_n... образуется следующим образом:

Доказать, что все числа в последовательности — целые.

   Решение

---

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?

   Решение

---

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отмечены точки P и Q так, что прямая PQ параллельна AD, а отрезок PQ делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину оонования BC, если известно, что  AD = a,  PQ = m,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника BPCQ.

   Решение

---

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

   Решение

---

К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108005  (#05.071.1)

Темы:   [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56917  (#05.072)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56918  (#05.073)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56919  (#05.074)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56920  (#05.075)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

а) Пусть  , и  — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше  180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы  , и . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями