Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 109711 (#00.5.11.5)

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Докажите неравенство sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109712 (#00.5.11.6)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Храбров А.

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108149 (#00.5.11.7)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109714 (#00.5.11.8)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Раскраски	]
	[	Правило произведения	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.
Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]