Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67064  (#1)

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67070  (#2)

Темы:   [ Стереометрия (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA, PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67076  (#3)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где  $n$ > 1.  Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $\frac{x}{y}$ при данном $n$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67078  (#4)

Темы:   [ Производная (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На доске написана функция  sin $x$ + cos $x$.  Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67079  (#5)

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями