Известно, что в кадр фотоаппарата, расположенного в точке O, не могут попасть предметы A и B такие, что угол AOB больше 179^o. На плоскости поставлено 1000 таких фотоаппаратов. Одновременно каждым фотоаппаратом делают по одному снимку. Доказать, что найдётся снимок, на котором сфотографировано не больше 998 фотоаппаратов.

   Решение

В окружность радиуса R вписан многоугольник площади S, содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами в выбранных точках не меньше 2S/R.

   Решение

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.

   Решение

Дан треугольник площади 1 со сторонами  a b c. Докажите, что  b .

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если     при  n = 2, ..., 10,  то  

Прислать комментарий

Решение

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что система неравенств
    |x| > |y – z + t|,
    |y| > |x – z + t|,
    |z| > |x – y + t|,
    |t| > |x – y + z|
не имеет решений.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]