Страница:
<< 83 84 85 86
87 88 89 >> [Всего задач: 915]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Можно ли взять в пространстве шесть точек $A_1$, ..., $A_6$ общего положения так, чтобы треугольники $A_1A_2A_3$ и $A_4A_5A_6$ были зацеплены, а два треугольника, соответствующие любому другому разбиению данных точек на две тройки, – нет?
Два треугольника в пространстве зацеплены, если контур одного пересекает внутренность другого в единственной точке.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из
четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Точки A1, B1, C1 – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A1, B1, C1, пересекают, соответственно, прямые B1C1, C1A1, A1B1 в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.
Страница:
<< 83 84 85 86
87 88 89 >> [Всего задач: 915]
Фильтр
