Версия для печати
Убрать все задачи

---

В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.

   Решение

---

Каждый из квадратных трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$ с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?

   Решение

---

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

   Решение

---

a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109913  (#97.4.10.1)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
  1) проверять, равны ли выбранные два числа,
  2) складывать выбранные числа,
  3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения  x² + ax + b = 0,  а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108179  (#97.4.10.2)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S₁, а вершины B и D – на окружности S₂, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109915  (#97.4.10.3)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число  2ⁿ – 1  делится на число  (2^m – 1)²  тогда и только тогда, когда число n делится на число  m(2^m – 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109916  (#97.4.10.4)

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Куб ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109917  (#97.4.10.5)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями