В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны 30^o . Найдите углы треугольника ABC .

   Решение

Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что  AM = AN = AB  (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырёхугольник.

   Решение

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?

   Решение

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.
Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

Прислать комментарий

Решение

Какое максимальное число шашек можно расставить на доске 8×8 так, чтобы каждая была под боем?

Прислать комментарий

Решение

Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?

Прислать комментарий

Решение

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

Прислать комментарий

Решение

Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно поженить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!" Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!" Этот диалог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!" Прав ли он?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]