Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., n быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., m?

   Решение

---

Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого  $i$ = 1, 2, ..., $n$  верно одно из равенств  $a_i = i$  или  $a_i = i$ + 1.  Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67468  (#1)

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3- Классы: 5,6,7,8

В городе Честервилле солнце светит нечасто: среди любых пяти дней подряд есть хотя бы четыре пасмурных. Зато среди любых шести дней подряд найдётся хотя бы один солнечный. Сколько солнечных дней может быть в Честервилле в сентябре? Укажите все возможные варианты.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67469  (#2)

Тема:   [ Математическая логика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8

Друг за другом стоят шесть стульев, между каждыми двумя соседними стульями на полу лежит по одному подарку (см. рисунок).

На четырёх стульях сидят Аня, Оля, Коля и Боря, все смотрят в одном направлении. Они сказали следующее:

Аня: «Впереди меня подарков больше, чем позади.»

Оля: «Позади меня подарков больше, чем впереди.»

Коля: «Между Олей и Борей столько же подарков, сколько между мной и Аней.»

Боря: «Можно убрать один из подарков впереди меня так, что все наши утверждения станут неверны.»

Известно, что все дети сказали правду. Кто на каком стуле сидит?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67470  (#3)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8

Петя вырезал из бумаги три одинаковые фигурки, положил их друг на друга так, чтобы их края совпали, и проткнул все три фигурки насквозь. Потом из этих трёх фигурок (возможно, поворачивая или переворачивая их) он сложил большую фигуру, как на рисунке.

Одна из дырок на рисунке отмечена чёрным кружком – выберите ещё две клетки, в которых окажутся дырки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67471  (#4)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Внутри куба отмечены $10$ точек. Жора хочет выбрать натуральное число $n$ и разбить куб на $n^3$ одинаковых кубиков так, чтобы каждая отмеченная точка оказалась внутри (но не на границе) какого-то кубика. При каком наименьшем $M$ Жора гарантированно сможет выбрать число, не большее $M$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67472  (#5)

Темы:   [ Оценка + пример ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

На столе лежит колода из 36 карт, верхняя из которых червонный туз. За одно «перемешивание» фокусник снимает верхнюю половину колоды и кладёт рядом с нижней, а затем делает так, чтобы карты двух стопок чередовались: сначала нижняя карта левой или правой стопки, потом первая снизу другой стопки, потом вторая снизу карта первой стопки, вторая снизу карта другой стопки, и так далее (см. рисунок).

Какое наименьшее число перемешиваний нужно сделать фокуснику, чтобы червонный туз оказался нижней картой колоды? При каждом перемешивании то, из какой половины карта окажется снизу, фокусник выбирает сам.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями