Версия для печати
Убрать все задачи

---

При каких значениях x и y верно равенство  x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

   Решение

---

Султан собрал 300 придворных мудрецов и предложил им испытание. Имеются колпаки 25 различных цветов, заранее известных мудрецам. Султан сообщил, что на каждого из мудрецов наденут один из этих колпаков, причём если для каждого цвета написать количество надетых колпаков, то все числа будут различны. Каждый мудрец будет видеть колпаки остальных мудрецов, а свой колпак нет. Затем все мудрецы одновременно огласят предполагаемый цвет своего колпака. Могут ли мудрецы заранее договориться действовать так, чтобы гарантированно хотя бы 150 из них назвали цвет верно?

   Решение

---

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h₁, h₂, h₃, то объём тетраэдра не меньше, чем h₁h₂h₃/3.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98005

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Метод усреднения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98006

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить  3n + 1  звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97986

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98016

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Отношение порядка ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  A ⊂ B ⊂ C).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями