Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором государстве было 2004 города, соединённых дорогами так, что из каждого города можно было добраться до любого другого. Известно, что при запрещённом проезде по любой из дорог по-прежнему из каждого города можно было добраться до любого другого. Министр транспорта и министр внутренних дел по очереди вводят на дорогах, пока есть возможность, одностороннее движение (на одной дороге за ход), причём министр, после хода которого из какого-либо города стало невозможно добраться до какого-либо другого, немедленно уходит в отставку. Первым ходит министр транспорта.
Может ли кто-либо из министров добиться отставки другого независимо от его игры?

   Решение

---

Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - H_A и H_B; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AH_A, BH_B, осью абсцисс и дугой AB.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105084

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - H_A и H_B; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AH_A, BH_B, осью абсцисс и дугой AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105085

Темы:   [ Итерации ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть   f(x) = x² + 12x + 30.  Решите уравнение   f(f(f(f(f(x))))) = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105086

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь многоугольника ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь трапеции ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник M, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри M, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105091

Темы:   [ Вычисление интегралов ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Интеграл и площадь ] [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) \, dx.$$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108131

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны соответственно точки D и E, причём
AD = AB  и  CE = CM.  Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями