ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Туры:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых. Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник? Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n. В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1,
а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an–1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an–1 – 1. Докажите, что в этой последовательности
Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно Целые числа a, b и c таковы, что числа a/b + b/c + c/a и a/с + с/b + b/a тоже целые. Докажите, что |a| = |b| = |c|. |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки
так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам. б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки М, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Целые числа a, b и c таковы, что числа a/b + b/c + c/a и a/с + с/b + b/a тоже целые. Докажите, что |a| = |b| = |c|.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке