Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что  PQ ⊥ AB.

   Решение

---

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа  P(k),  P(k + 1),  ...,
P(k + 1996)  будут составными, если
  а)  n = 1;
  б)  n – произвольное натуральное число.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107813

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Системы точек ] [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107814

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа  P(k),  P(k + 1),  ...,
P(k + 1996)  будут составными, если
  а)  n = 1;
  б)  n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107816

Темы:   [ Многочлены Чебышева ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108182

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что  AN = NC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108682

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями