Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
14 турнир (1992/1993 год)
>>
осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением a/cos α = b/cos β, то треугольник – равнобедренный.
Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.
Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10200. Доказать, что X делится на 50.
а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых
кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности
взять сумму?
Исследуйте последовательности на сходимость:
а)
xn + 1 = , x0 = 1;
б)
xn + 1 = sin xn,
x0 = a (0;
);
в)
xn + 1 = , a > 0, x0 = 0.
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
Докажите, что если в выражении (x² – x + 1)2014 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Докажите следующий вариант формулы Бине:
Докажите равенство:
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)
Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.
На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.
Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.
Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .
Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что ∠KBA = 2∠KAB и ∠KBC = 2∠KCB.
На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача 98143 (#1) |
|
|
В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а
каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.
Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных
вылазках.
|
|
Решение |
Задача 108059 (#2) |
|
|
На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.
|
|
Решение |
Задача 98145 (#3) |
|
|
Дано натуральное число M. Докажите, что существует число, кратное M, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.
|
|
|
Решение |
Задача 108060 (#4) |
|
|
а) В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что
BC > ½ AB.
б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A больше угла C, а угол D больше угла B. Докажите, что BC > ½ AD.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 4]
