Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство  (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

Вниз   Решение


Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An ( 1 n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A1>1 .

ВверхВниз   Решение


Точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.

ВверхВниз   Решение


Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции  y = ax³ + bx² + cx + d:  первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин А.

Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.

ВверхВниз   Решение


Найдите все пары чисел x,y (0;) , удовлетворяющие равенству sin x+ sin y= sin(xy) .

ВверхВниз   Решение


Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

ВверхВниз   Решение


Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите высоту пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром a .

ВверхВниз   Решение


Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите объём пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'.
Восстановите треугольник ABC при помощи циркуля и линейки.

ВверхВниз   Решение


Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a .

ВверхВниз   Решение


Девять одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



Задача 108733

Темы:   [ Текстовые задачи ]
[ Алгебраические неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Девять одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?
Прислать комментарий     Решение


Задача 30285

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Ломаные ]
Сложность: 3
Классы: 6,7

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?

Прислать комментарий     Решение

Задача 32947

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны
  а) клеточки b3 и e7;
  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 32995

Тема:   [ Деревья ]
Сложность: 3
Классы: 8

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.
  а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.
  б) Сколько дорог в Заитильщине?

Прислать комментарий     Решение

Задача 33081

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3
Классы: 8

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .