Версия для печати
Убрать все задачи

---

В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109529  (#93.4.11.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5ⁿ равна 2ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109530  (#93.4.11.2)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109531  (#93.4.11.3)

Темы:   [ Сфера, вписанная в многогранный угол ] [ Касательные к сферам ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109532  (#93.4.11.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109533  (#93.4.11.5)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Теория игр (прочее) ] [ Производная и экстремумы ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На доске написано:  x³ + ...x² + ...x + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями