Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]

Задача 109790 (#03.5.9.4)

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Храбров А.

Последовательность {a_n} строится следующим образом: a₁ = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_{a_n}, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109791 (#03.5.9.5)

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Раскраски	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109792 (#03.5.9.6)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенства. Метод интервалов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:

Прислать комментарий

Решение

Задача 109793 (#03.5.9.7)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на m + n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109794 (#03.5.9.8)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А.

На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H₁ и H₂ являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H₁H₂ проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q, Y ≠ Q.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]