Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]

Задача 110086 (#02.4.11.2)

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 110087 (#02.4.11.3)

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Набор чисел a₀, a₁, ..., a_n удовлетворяет условиям: a₀ = 0, a_k+1 ≥ a_k + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 110088 (#02.4.11.4)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Принцип крайнего	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из n× клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110089 (#02.4.11.5)

Темы:	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Итерации	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Рубанов И.С.

Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение P(P(x)) = 0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P(x) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110090 (#02.4.11.6)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]