Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 54]
Задача
110201
(#06.4.11.2)
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11
|
Произведение квадратных трёхчленов x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + anx + bn равно многочлену P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n, где коэффициенты c1, c2, ..., c2n положительны. Докажите, что для некоторого k (1 ≤ k ≤ n) коэффициенты ak и bk положительны.
Задача
110202
(#06.4.11.3)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все
участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и a1 > a2 > ... > an). При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
Задача
110203
(#06.4.11.4)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9
|
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
Задача
110210
(#06.4.11.5)
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для каждого
x такого, что
sin x 0
, найдется такое
натуральное
n , что
| sin nx| .
Задача
110204
(#06.4.11.6)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
В тетраэдре
ABCD из вершины
A опустили перпендикуляры
AB' ,
AC' ,
AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах
CD ,
BD ,
BC
пополам. Докажите, что плоскость
(
B'C'D')
параллельна плоскости
(
BCD)
.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 54]