Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что  P(1) + P(2) + ... + P(n)  делится на k.

   Решение

---

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

   Решение

---

Дан многочлен  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Положим  m = min {a₀, a₀ + a₁, ..., a₀ + a₁ + ... + a_n}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxⁿ  при  x ≥ 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111849  (#07.5.9.8)

Темы:   [ Логика и теория множеств ] [ Оценка + пример ] [ Десятичные дроби (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число =0, 10715.. ). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано N цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем N он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111834  (#07.5.10.1)

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Свойства разверток ] [ Куб ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111835  (#07.5.10.2)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Тождественные преобразования ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан многочлен  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Положим  m = min {a₀, a₀ + a₁, ..., a₀ + a₁ + ... + a_n}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxⁿ  при  x ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111845  (#07.5.10.3)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB₁. Перпендикуляр, опущенный из точки B₁ на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111837  (#07.5.10.4)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ] [ Правило произведения ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями