Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников  A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что  QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.

   Решение

---

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

   Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116816

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32012

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В колоде 16 карт, пронумерованных сверху вниз. Разрешается снять часть колоды сверху, после чего снятую и оставшуюся части колоды, не переворачивая "врезать" друг в друга. Может ли случиться, что после нескольких таких операций карты окажутся пронумерованными снизу вверх? Если да, то за какое наименьшее число операций это может произойти?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32082

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32088

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Индукция (прочее) ] [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Интерполяционный многочлен Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32101

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:
  1) в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;
  2) из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.
  а) Может ли дикарь племени сосчитать все пальцы на своей руке?
  б) А дни недели?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями